Tangentiale oder tangentiale Beschleunigung. Beschleunigung – Durchschnitt, Momentan, Tangential, Normal, Gesamt. Die Tangentialbeschleunigung charakterisiert die Geschwindigkeitsänderung

Es werden die Grundformeln der Kinematik eines materiellen Punktes, ihre Herleitung und Darstellung der Theorie angegeben.

Inhalt

Siehe auch: Ein Beispiel für die Lösung eines Problems (Koordinatenmethode zur Angabe der Bewegung eines Punktes)

Grundformeln für die Kinematik eines materiellen Punktes

Stellen wir die Grundformeln der Kinematik eines materiellen Punktes vor. Anschließend geben wir ihr Fazit und stellen die Theorie vor.

Radiusvektor des materiellen Punktes M im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz:
,
wo sind Einheitsvektoren (Orts) in Richtung der x-, y-, z-Achsen.

Punktgeschwindigkeit:
;
.
.
Einheitsvektor in Richtung tangential zur Flugbahn eines Punktes:
.

Beschleunigungspunkt:
;
;
;
; ;

Tangentiale (tangentiale) Beschleunigung:
;
;
.

Normale Beschleunigung:
;
;
.

Einheitsvektor, der auf den Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn des Punktes (entlang der Hauptnormalen) gerichtet ist:
.

.

Radiusvektor und Punktflugbahn

Betrachten wir die Bewegung des materiellen Punktes M. Wählen wir ein festes rechteckiges Koordinatensystem Oxyz mit einem Mittelpunkt an einem festen Punkt O. Dann ist die Position des Punktes M eindeutig durch seine Koordinaten bestimmt (x, y, z). Diese Koordinaten sind Komponenten des Radiusvektors des Materialpunkts.

Der Radiusvektor eines Punktes M ist ein Vektor, der vom Ursprung eines festen Koordinatensystems O zu einem Punkt M gezogen wird.
,
wo sind Einheitsvektoren in Richtung der x-, y-, z-Achsen.

Wenn sich ein Punkt bewegt, ändern sich die Koordinaten im Laufe der Zeit. Das heißt, sie sind Funktionen der Zeit. Dann das Gleichungssystem
(1)
kann als Gleichung einer durch parametrische Gleichungen definierten Kurve betrachtet werden. Eine solche Kurve ist die Flugbahn eines Punktes.

Die Flugbahn eines materiellen Punktes ist die Linie, entlang derer sich der Punkt bewegt.

Bewegt sich der Punkt in einer Ebene, so können die Achsen und Koordinatensysteme so gewählt werden, dass sie in dieser Ebene liegen. Dann wird die Flugbahn durch zwei Gleichungen bestimmt

In einigen Fällen kann die Zeit aus diesen Gleichungen eliminiert werden. Dann hat die Trajektoriengleichung die Form:
,
Wo ist eine Funktion? Diese Abhängigkeit enthält nur die Variablen und . Der Parameter ist nicht enthalten.

Geschwindigkeit eines materiellen Punktes

Die Geschwindigkeit eines materiellen Punktes ist die Ableitung seines Radiusvektors nach der Zeit.

Gemäß der Definition von Geschwindigkeit und der Definition von Ableitung:

In der Mechanik werden Ableitungen nach der Zeit durch einen Punkt über dem Symbol gekennzeichnet. Ersetzen wir hier den Ausdruck für den Radiusvektor:
,
wo wir die Abhängigkeit der Koordinaten von der Zeit deutlich aufgezeigt haben. Wir bekommen:

,
Wo
,
,

- Projektionen der Geschwindigkeit auf die Koordinatenachsen. Sie werden durch Differenzierung der Komponenten des Radiusvektors nach der Zeit erhalten
.

Auf diese Weise
.
Geschwindigkeitsmodul:
.

Tangente zum Pfad

Aus mathematischer Sicht kann das Gleichungssystem (1) als Gleichung einer durch parametrische Gleichungen definierten Linie (Kurve) betrachtet werden. Die Zeit spielt in dieser Betrachtung die Rolle eines Parameters. Aus der mathematischen Analyse ist bekannt, dass der Richtungsvektor für die Tangente an diese Kurve die Komponenten hat:
.
Aber das sind die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors des Punktes. Also die Geschwindigkeit des materiellen Punktes ist tangential zur Flugbahn gerichtet.

All dies kann direkt nachgewiesen werden. Der Punkt sei zu diesem Zeitpunkt an einer Position mit dem Radiusvektor (siehe Abbildung). Und im Moment der Zeit - in Position mit dem Radiusvektor. Zeichnen wir eine gerade Linie durch die Punkte. Eine Tangente ist per Definition eine Gerade, zu der die Gerade tendiert.
Führen wir die folgende Notation ein:
;
;
.
Dann ist der Vektor entlang der Geraden gerichtet.

Bei der Tendenz tendiert die Gerade zur Tangente und der Vektor zur Geschwindigkeit des Punktes zum jeweiligen Zeitpunkt:
.
Da der Vektor entlang der Geraden gerichtet ist und die Gerade bei , ist der Geschwindigkeitsvektor entlang der Tangente gerichtet.
Das heißt, der Geschwindigkeitsvektor eines materiellen Punktes ist entlang der Tangente zur Flugbahn gerichtet.

Stellen wir uns vor Tangentenrichtungsvektor der Einheitslänge:
.
Zeigen wir, dass die Länge dieses Vektors gleich eins ist. In der Tat, seitdem
, Das:
.

Dann kann der Geschwindigkeitsvektor des Punktes wie folgt dargestellt werden:
.

Beschleunigung eines materiellen Punktes

Die Beschleunigung eines materiellen Punktes ist die Ableitung seiner Geschwindigkeit nach der Zeit.

Ähnlich wie beim vorherigen erhalten wir die Beschleunigungskomponenten (Beschleunigungsprojektionen auf den Koordinatenachsen):
;
;
;
.
Beschleunigungsmodul:
.

Tangentiale (Tangente) und Normalbeschleunigung

Betrachten Sie nun die Frage nach der Richtung des Beschleunigungsvektors in Bezug auf die Flugbahn. Dazu wenden wir die Formel an:
.
Wir differenzieren es nach der Zeit mithilfe der Produktdifferenzierungsregel:
.

Der Vektor ist tangential zur Flugbahn gerichtet. In welche Richtung ist seine zeitliche Ableitung gerichtet?

Um diese Frage zu beantworten, nutzen wir die Tatsache, dass die Länge des Vektors konstant und gleich Eins ist. Dann ist auch das Quadrat seiner Länge gleich eins:
.
Hier und unten bezeichnen zwei Vektoren in Klammern das Skalarprodukt von Vektoren. Lassen Sie uns die letzte Gleichung nach der Zeit differenzieren:
;
;
.
Da das Skalarprodukt der Vektoren und gleich Null ist, stehen diese Vektoren senkrecht zueinander. Da der Vektor tangential zur Flugbahn gerichtet ist, steht der Vektor senkrecht zur Tangente.

Die erste Komponente heißt Tangential- oder Tangentialbeschleunigung:
.
Die zweite Komponente heißt Normalbeschleunigung:
.
Dann ist die Gesamtbeschleunigung:
(2) .
Diese Formel stellt die Zerlegung der Beschleunigung in zwei zueinander senkrechte Komponenten dar – tangential zur Flugbahn und senkrecht zur Tangente.

Seit damals
(3) .

Tangentiale (tangentiale) Beschleunigung

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung multiplizieren (2) Skalar zu:
.
Weil dann . Dann
;
.
Hier setzen wir:
.
Daraus können wir erkennen, dass die Tangentialbeschleunigung gleich der Projektion der Gesamtbeschleunigung auf die Richtung der Tangente an die Flugbahn oder, was dasselbe ist, auf die Richtung der Geschwindigkeit des Punktes ist.

Die tangentiale (tangentiale) Beschleunigung eines materiellen Punktes ist die Projektion seiner Gesamtbeschleunigung auf die Richtung der Tangente an die Flugbahn (bzw. in die Geschwindigkeitsrichtung).

Mit dem Symbol bezeichnen wir den tangentialen Beschleunigungsvektor, der entlang der Tangente zur Flugbahn gerichtet ist. Dann ist eine skalare Größe gleich der Projektion der Gesamtbeschleunigung auf die Richtung der Tangente. Es kann sowohl positiv als auch negativ sein.

Ersetzen wir:
.

Setzen wir es in die Formel ein:
.
Dann:
.
Das heißt, die Tangentialbeschleunigung ist gleich der zeitlichen Ableitung der absoluten Geschwindigkeit des Punktes. Auf diese Weise, Die Tangentialbeschleunigung führt zu einer Änderung des Absolutwerts der Geschwindigkeit des Punktes. Mit zunehmender Geschwindigkeit ist die Tangentialbeschleunigung positiv (oder entlang der Geschwindigkeit gerichtet). Mit abnehmender Geschwindigkeit ist die Tangentialbeschleunigung negativ (oder in entgegengesetzter Richtung zur Geschwindigkeit).

Schauen wir uns nun den Vektor an.

Betrachten Sie einen Einheitsvektor, der die Flugbahn tangiert. Platzieren wir seinen Ursprung im Ursprung des Koordinatensystems. Dann liegt das Ende des Vektors auf einer Kugel mit einem Einheitsradius. Wenn sich ein materieller Punkt bewegt, bewegt sich das Ende des Vektors entlang dieser Kugel. Das heißt, es dreht sich um seinen Ursprung. Sei die momentane Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Vektors zum jeweiligen Zeitpunkt. Dann ist seine Ableitung die Bewegungsgeschwindigkeit des Endes des Vektors. Es ist senkrecht zum Vektor gerichtet. Wenden wir die Formel für die Drehbewegung an. Vektormodul:
.

Betrachten Sie nun die Position des Punktes für zwei nahe beieinander liegende Zeitpunkte. Der Punkt sei zum jeweiligen Zeitpunkt an seiner Position und zum jeweiligen Zeitpunkt an seiner Position. Seien und an diesen Punkten Einheitsvektoren, die tangential zur Flugbahn gerichtet sind. Durch die Punkte und zeichnen wir Ebenen senkrecht zu den Vektoren und . Sei eine gerade Linie, die durch den Schnittpunkt dieser Ebenen entsteht. Von einem Punkt aus senken wir eine Senkrechte auf eine Gerade. Wenn die Positionen der Punkte nahe genug beieinander liegen, kann die Bewegung des Punkts als Rotation entlang eines Kreises mit Radius um die Achse betrachtet werden, die die momentane Rotationsachse des materiellen Punktes darstellt. Da die Vektoren und senkrecht zu den Ebenen und stehen, ist der Winkel zwischen diesen Ebenen gleich dem Winkel zwischen den Vektoren und. Dann ist die momentane Rotationsgeschwindigkeit des Punktes um die Achse gleich der momentanen Rotationsgeschwindigkeit des Vektors:
.
Hier ist der Abstand zwischen Punkten und .

So haben wir den Modul der Zeitableitung des Vektors gefunden:
.
Wie bereits erwähnt, steht der Vektor senkrecht zum Vektor. Aus der obigen Überlegung geht klar hervor, dass es auf den momentanen Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn gerichtet ist. Diese Richtung wird Hauptnormale genannt.

Normale Beschleunigung

Normale Beschleunigung

entlang des Vektors gerichtet. Wie wir herausgefunden haben, ist dieser Vektor senkrecht zur Tangente gerichtet, zum momentanen Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn.
Sei ein Einheitsvektor, der vom materiellen Punkt zum momentanen Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn (entlang der Hauptnormalen) gerichtet ist. Dann
;
.
Da beide Vektoren die gleiche Richtung haben – also zum Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn
.

Aus der Formel (2) wir haben:
(4) .
Aus der Formel (3) Wir finden das normale Beschleunigungsmodul:
.

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung multiplizieren (2) Skalar zu:
(2) .
.
Weil dann . Dann
;
.
Dies zeigt, dass der Modul der Normalbeschleunigung gleich der Projektion der Gesamtbeschleunigung auf die Richtung der Hauptnormalen ist.

Die Normalbeschleunigung eines materiellen Punktes ist die Projektion seiner Gesamtbeschleunigung auf die Richtung senkrecht zur Tangente an die Flugbahn.

Lasst uns ersetzen. Dann
.
Das heißt, die Normalbeschleunigung bewirkt eine Richtungsänderung der Geschwindigkeit eines Punktes und hängt mit dem Krümmungsradius der Flugbahn zusammen.

Von hier aus können Sie den Krümmungsradius der Flugbahn ermitteln:
.

Und abschließend stellen wir fest, dass die Formel (4) kann wie folgt umgeschrieben werden:
.
Hier haben wir die Formel für das Kreuzprodukt dreier Vektoren angewendet:
,
die sie gerahmt haben
.

Also haben wir:
;
.
Setzen wir die Module des linken und rechten Teils gleich:
.
Die Vektoren stehen aber auch senkrecht zueinander. Deshalb
.
Dann
.
Dies ist eine aus der Differentialgeometrie bekannte Formel für die Krümmung einer Kurve.

Siehe auch:

.Tangentialbeschleunigung – eine vektorielle physikalische Größe, die die Änderung der Geschwindigkeit eines Körpers in absoluten Werten charakterisiert, numerisch gleich der ersten Ableitung des Geschwindigkeitsmoduls nach der Zeit und tangential zur Flugbahn in der gleichen Richtung wie die Geschwindigkeit gerichtet ist, wenn die Geschwindigkeit zunimmt, und umgekehrt zur Geschwindigkeit, wenn sie abnimmt.

4

Normale Beschleunigung

.Normale Beschleunigung – vektorielle physikalische Größe, die die Änderung der Geschwindigkeitsrichtung charakterisiert, numerisch gleich dem Verhältnis des Quadrats der Geschwindigkeit zum Krümmungsradius der Flugbahn, gerichtet entlang des Krümmungsradius zum Krümmungsmittelpunkt:

.

T

wie Vektoren Und rechtwinklig gerichtet, dann (Abb. 1.17)

, (1.2.9)

5.Winkelbeschleunigung – eine vektorielle physikalische Größe, die die Änderung der Winkelgeschwindigkeit charakterisiert, numerisch gleich der ersten Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit und entlang der Rotationsachse in die gleiche Richtung wie die Winkelgeschwindigkeit gerichtet, wenn die Geschwindigkeit zunimmt, und entgegengesetzt dazu wenn es abnimmt.

Formel einfügen (1.2.10)

SI:

Volle Beschleunigung

(linear)

Da wir uns auf die Betrachtung der Drehung um eine feste Achse beschränken, wird die Winkelbeschleunigung nicht wie die lineare Beschleunigung in Komponenten zerlegt.

Winkelbeschleunigung

Zusammenhang zwischen Winkelmerkmalen

rotierender Körper und linear

Merkmale der Bewegung seiner einzelnen Punkte

R

SI:

Betrachten wir einen der Punkte eines rotierenden Körpers, der sich im Abstand R von der Rotationsachse befindet, sich also entlang eines Kreises mit dem Radius R bewegt (Abb. 1.18).

Nachdem die Zeit vergangen ist
Punkt A bewegt sich nach Zurücklegen der Strecke zur Position A 1
, dreht sich der Radiusvektor um einen Winkel
. Zentraler Winkel, der durch einen Bogen begrenzt wird
, im Bogenmaß, ist gleich dem Verhältnis der Länge des Bogens zum Krümmungsradius dieses Bogens:

.

Dies gilt auch für ein verschwindend kleines Zeitintervall
:
. Mithilfe der Definitionen lässt sich außerdem leicht Folgendes ermitteln:

; (1.2.11)

Zusammenhang zwischen linearen und Winkeleigenschaften

; (1.2.12)

. (1.2.13)

1.1.2. Klassifizierung von Bewegungen. Kinematische Gesetze

Wir nennen kinematische Gesetze Gesetze, die Änderungen der kinematischen Eigenschaften einer Bewegung im Laufe der Zeit ausdrücken:

Gesetz des Weges
oder
;

Gesetz der Geschwindigkeit
oder
;

Gesetz der Beschleunigung
oder
.

N

Beschleunigung

Die Beschleunigung eines Rennwagens beim Start beträgt 4-5 m/s 2

Beschleunigung eines Düsenflugzeugs bei der Landung

6-8 m/C 2

Erdbeschleunigung nahe der Sonnenoberfläche 274 m/C 2

Beschleunigung eines Projektils in einem Waffenrohr 10 5 M/C 2

Das aussagekräftigste Merkmal einer Bewegung ist die Beschleunigung und wird daher als Grundlage für die Klassifizierung von Bewegungen verwendet.

Die normale Beschleunigung enthält Informationen über eine Änderung der Geschwindigkeitsrichtung, also über die Merkmale der Bewegungsbahn:

- Die Bewegung ist linear (die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich nicht);

- krummlinige Bewegung.

Die Tangentialbeschleunigung bestimmt die Art der zeitlichen Änderung des Geschwindigkeitsmoduls. Auf dieser Grundlage ist es üblich, folgende Bewegungsarten zu unterscheiden:

- gleichmäßige Bewegung (der Absolutwert der Geschwindigkeit ändert sich nicht);

- beschleunigte Bewegung

- ungleichmäßig - (Geschwindigkeit nimmt zu)

neue Bewegung
-Zeitlupe

Geschwindigkeit (Geschwindigkeit nimmt ab).

Die einfachsten Sonderfälle ungleichmäßiger Bewegung sind Bewegungen, bei denen

- Tangentialbeschleunigung ist nicht zeitabhängig, bleibt während der Bewegung konstant - gleichmäßig variable Bewegung (gleichmäßig beschleunigt oder gleichmäßig abgebremst);

oder
- Tangentialbeschleunigung ändert sich im Laufe der Zeit nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz - harmonische Schwingbewegung (z. B. ein Gewicht auf einer Feder).

Ebenso für Rotationsbewegung:

- gleichmäßige Rotation;

- ungleichmäßige Rotation

Bewegungsarten kompakter aufschreiben

-gleichmäßig beschleunigt

Drehung

- langsam-

keine Rotation;

- gleich-

Riemendrehung

Torsionsschwingungen (z. B. trifilare Aufhängung – eine Scheibe, die an drei elastischen Fäden aufgehängt ist und in der horizontalen Ebene schwingt).

Wenn eines der kinematischen Gesetze in analytischer Form bekannt ist, können andere gefunden werden, und es sind zwei Arten von Problemen möglich:

Typ I – nach einem vorgegebenen Pfadgesetz
oder
Finden Sie das Geschwindigkeitsgesetz
oder
und das Gesetz der Beschleunigung
oder
;

Typ II – nach einem vorgegebenen Beschleunigungsgesetz
oder
Finden Sie das Geschwindigkeitsgesetz
oder
und das Gesetz des Weges
oder
.

Diese Probleme sind zueinander invers und werden durch inverse mathematische Operationen gelöst. Die erste Art von Problemen wird auf der Grundlage von Definitionen gelöst, also durch Anwendung der Differenzierungsoperation.

- Satz

- ?

- ?
.

Die zweite Art von Problemen wird durch Integration gelöst. Wenn die Geschwindigkeit die erste Ableitung des Weges nach der Zeit ist, dann kann der Weg nach der Geschwindigkeit als Stammfunktion gefunden werden. Ebenso gilt: Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit, dann ist die Geschwindigkeit nach der Beschleunigung die Stammfunktion. Mathematisch sehen diese Aktionen so aus:

- Wegzuwachs über einen verschwindend kleinen Zeitraum
. Für ein endliches Intervall von Vor integrieren:
. Nach den Regeln der Integration
. Um das Integral auf der rechten Seite zu bilden, müssen Sie die Form des Geschwindigkeitsgesetzes kennen
. Um schließlich die Position des Körpers auf der Flugbahn zu einem beliebigen Zeitpunkt zu ermitteln, erhalten wir:

, wobei (1.2.14)

- Geschwindigkeitsänderung über einen verschwindend kleinen Zeitraum
.

Für ein endliches Intervall von Vor :

Tangentialbeschleunigung charakterisiert die Geschwindigkeitsänderung im Absolutwert (Größe) und ist tangential zur Flugbahn gerichtet:

,

Wo  Ableitung des Geschwindigkeitsmoduls,  Einheits-Tangensvektor, der in der Richtung mit der Geschwindigkeit zusammenfällt.

Normale Beschleunigung charakterisiert die Geschwindigkeitsänderung in Richtung und ist entlang des Krümmungsradius zum Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn an einem bestimmten Punkt gerichtet:

,

wobei R der Krümmungsradius der Flugbahn ist,  Einheitsnormalenvektor.

Die Größe des Beschleunigungsvektors kann mit der Formel ermittelt werden

.

1.3. Die Hauptaufgabe der Kinematik

Die Hauptaufgabe der Kinematik besteht darin, das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes zu finden. Hierzu werden folgende Beziehungen verwendet:

;
;
;
;

.

Sonderfälle geradliniger Bewegung:

1) gleichförmige lineare Bewegung: ;

2) gleichförmige lineare Bewegung:
.

1.4. Rotationsbewegung und ihre kinematischen Eigenschaften

Bei der Rotationsbewegung bewegen sich alle Punkte des Körpers auf Kreisen, deren Mittelpunkte auf derselben Geraden, der sogenannten Rotationsachse, liegen. Zur Charakterisierung der Rotationsbewegung werden die folgenden kinematischen Eigenschaften eingeführt (Abb. 3).

Winkelbewegung
 Vektor numerisch gleich dem Drehwinkel des Körpers
während
und entlang der Rotationsachse gerichtet, so dass man bei Betrachtung entlang dieser Achse beobachten kann, dass die Drehung des Körpers im Uhrzeigersinn erfolgt.

Winkelgeschwindigkeit  charakterisiert die Geschwindigkeit und Drehrichtung des Körpers, ist gleich der Ableitung des Drehwinkels nach der Zeit und ist als Winkelverschiebung entlang der Drehachse gerichtet.

P Für Rotationsbewegungen gelten folgende Formeln:

;
;
.

Winkelbeschleunigung charakterisiert die zeitliche Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit, gleich der ersten Ableitung der Winkelgeschwindigkeit und entlang der Rotationsachse gerichtet:

;
;
.

Sucht
drückt das Gesetz der Körperrotation aus.

Bei gleichförmiger Rotation:  = 0,  = const,  = t.

Bei gleichförmiger Rotation:  = const,
,
.

Um eine gleichmäßige Rotationsbewegung zu charakterisieren, werden die Rotationsperiode und die Rotationsfrequenz verwendet.

Rotationszeitraum T ist die Zeit einer Umdrehung eines Körpers, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht.

Rotationsfrequenz – die Anzahl der Umdrehungen, die der Körper pro Zeiteinheit durchführt.

Die Winkelgeschwindigkeit kann wie folgt ausgedrückt werden:

.

Zusammenhang zwischen Winkel- und linearen kinematischen Eigenschaften (Abb. 4):

2. Dynamik translatorischer und rotatorischer Bewegungen

1. Newtons Gesetze Das erste Newtonsche Gesetz: Jeder Körper befindet sich in einem Zustand der Ruhe oder gleichförmigen geradlinigen Bewegung, bis ihn der Einfluss anderer Körper aus diesem Zustand herausholt.

Körper, die keinen äußeren Einflüssen unterliegen, werden freie Körper genannt. Das mit einem freien Körper verbundene Bezugssystem wird als Inertialreferenzsystem (IRS) bezeichnet. Im Verhältnis dazu wird sich jeder freie Körper gleichmäßig und geradlinig bewegen oder ruhen. Aus der Relativität der Bewegung folgt, dass ein Bezugssystem, das sich gleichmäßig und geradlinig in Bezug auf die ISO bewegt, auch eine ISO ist. ISOs spielen in allen Bereichen der Physik eine wichtige Rolle. Dies ist auf Einsteins Relativitätsprinzip zurückzuführen, wonach die mathematische Form jedes physikalischen Gesetzes in allen Inertialsystemen die gleiche Form haben muss.

Zu den Grundkonzepten der Translationsbewegung gehören Kraft, Körpermasse und Impuls des Körpers (Körpersystems).

Gewaltsam ist eine vektorielle physikalische Größe, die ein Maß für die mechanische Wirkung eines Körpers auf einen anderen ist. Mechanische Einwirkung erfolgt sowohl durch direkten Kontakt interagierender Körper (Reibung, Stützreaktion, Gewicht usw.) als auch durch Kraftfeld im Raum existieren (Schwerkraft, Coulomb-Kräfte usw.). Gewalt charakterisiert durch Modul, Richtung und Einsatzpunkt.

Gleichzeitige Einwirkung mehrerer Kräfte auf den Körper ,,...,kann durch die Wirkung der resultierenden (resultierenden) Kraft ersetzt werden :

=++...+=.

Masse eines Körpers ist eine skalare Größe, die ein Maß darstellt Trägheit Körper. Unter Trägheit bezeichnet die Eigenschaft materieller Körper, ihre Geschwindigkeit ohne äußere Einflüsse unverändert beizubehalten und sie unter Krafteinwirkung allmählich (d. h. mit endlicher Beschleunigung) zu ändern.

Impuls Körper (materieller Punkt) ist eine vektorielle physikalische Größe, die dem Produkt aus der Masse des Körpers und seiner Geschwindigkeit entspricht:
.

Der Impuls eines Systems materieller Punkte ist gleich der Vektorsumme der Impulse der Punkte, aus denen das System besteht:
.

Newtons zweites Gesetz: Die Impulsänderungsrate eines Körpers ist gleich der auf ihn wirkenden Kraft:

.

Wenn die Masse des Körpers konstant bleibt, ist die Beschleunigung, die der Körper relativ zum Trägheitsbezugssystem erfährt, direkt proportional zur auf ihn wirkenden Kraft und umgekehrt proportional zur Masse des Körpers:

.

d. h. sie ist gleich der ersten zeitlichen Ableitung des Geschwindigkeitsmoduls und bestimmt so die Änderungsrate der Geschwindigkeit im Modul.

Die zweite Komponente der Beschleunigung ist gleich

angerufen Normalkomponente der Beschleunigung und ist entlang der Normalen zur Flugbahn zum Mittelpunkt ihrer Krümmung gerichtet (daher auch genannt). Zentripetalbeschleunigung).

Also, tangential Beschleunigungskomponente charakterisiert Geschwindigkeit der Geschwindigkeitsänderung modulo(tangential zur Flugbahn gerichtet) und normal Beschleunigungskomponente - Geschwindigkeit der Richtungsänderung(auf den Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn gerichtet).

Abhängig von den Tangential- und Normalkomponenten der Beschleunigung kann die Bewegung wie folgt klassifiziert werden:

1) , und n = 0 - geradlinige gleichmäßige Bewegung;

2) , und n = 0 - geradlinige gleichförmige Bewegung. Mit dieser Art von Bewegung

Wenn das erste Mal T 1 =0 und die Anfangsgeschwindigkeit v 1 =v 0 bedeutet also T 2 =t Und v 2 =v, wir kommen woher

Durch Integration dieser Formel über den Bereich von Null bis zu einem beliebigen Zeitpunkt T, Wir finden, dass die Länge des Weges, den ein Punkt bei gleichmäßig variabler Bewegung zurücklegt, ist

· 3) , und n = 0 – lineare Bewegung mit variabler Beschleunigung;

· 4) , und n = const. Wenn sich die Geschwindigkeit nicht im Absolutwert, sondern in der Richtung ändert. Aus der Formel a n =v 2 /R Daraus folgt, dass der Krümmungsradius konstant sein muss. Daher ist die Kreisbewegung gleichmäßig;

· 5) , - gleichmäßige krummlinige Bewegung;

· 6) , - krummlinige gleichmäßige Bewegung;

· 7) , - krummlinige Bewegung mit variabler Beschleunigung.

2) Ein starrer Körper, der sich im dreidimensionalen Raum bewegt, kann maximal sechs Freiheitsgrade haben: drei translatorische und drei rotatorische

Die elementare Winkelverschiebung ist ein Vektor, der gemäß der Regel der rechten Schraube entlang der Achse gerichtet ist und numerisch dem Winkel entspricht

Winkelgeschwindigkeit ist eine Vektorgröße, die der ersten Ableitung des Drehwinkels eines Körpers nach der Zeit entspricht:

Die Einheit ist Bogenmaß pro Sekunde (rad/s).

Die Winkelbeschleunigung ist eine Vektorgröße, die der ersten Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit entspricht:

Wenn sich ein Körper um eine feste Achse dreht, ist der Winkelbeschleunigungsvektor entlang der Rotationsachse auf den Vektor des Elementarinkrements der Winkelgeschwindigkeit gerichtet. Bei beschleunigter Bewegung ist der Vektor gleichgerichtet zum Vektor (Abb. 8), bei langsamer Bewegung ist er entgegengesetzt (Abb. 9).

Tangentialkomponente der Beschleunigung

Normalkomponente der Beschleunigung

Wenn sich ein Punkt entlang einer Kurve bewegt, ist die lineare Geschwindigkeit gerichtet

Tangente an die Kurve und Modulo gleich dem Produkt

Winkelgeschwindigkeit zum Krümmungsradius der Kurve. (Verbindung)

3) Newtons erstes Gesetz: Jeder materielle Punkt (Körper) behält einen Ruhezustand oder eine gleichmäßige geradlinige Bewegung bei, bis der Einfluss anderer Körper ihn zwingt, diesen Zustand zu ändern. Der Wunsch eines Körpers, einen Ruhezustand oder eine gleichmäßige geradlinige Bewegung aufrechtzuerhalten, wird genannt Trägheit. Daher wird auch das erste Newtonsche Gesetz genannt Trägheitsgesetz.

Mechanische Bewegung ist relativ und ihre Natur hängt vom Bezugssystem ab. Das erste Newtonsche Gesetz ist nicht in jedem Bezugssystem erfüllt, und die Systeme, in denen es erfüllt ist, werden aufgerufen Inertialreferenzsysteme. Ein Trägheitsbezugssystem ist ein Bezugssystem, relativ zu dem der materielle Punkt, frei von äußeren Einflüssen, entweder in Ruhe oder in gleichmäßiger und geradliniger Bewegung. Newtons erstes Gesetz besagt die Existenz von Trägheitsbezugssystemen.

Newtons zweites Gesetz - das Grundgesetz der Dynamik der translatorischen Bewegung - beantwortet die Frage, wie sich die mechanische Bewegung eines materiellen Punktes (Körpers) unter dem Einfluss der auf ihn einwirkenden Kräfte ändert.

Gewicht Körper - eine physikalische Größe, die eines der Hauptmerkmale der Materie ist und ihre Trägheit bestimmt ( träge Masse) und Gravitation ( Gravitationsmasse) Eigenschaften. Derzeit kann es als erwiesen angesehen werden, dass die träge und schwere Masse einander gleich sind (mit einer Genauigkeit von mindestens 10–12 ihrer Werte).

Also, Gewalt ist eine Vektorgröße, die ein Maß für die mechanische Einwirkung anderer Körper oder Felder auf einen Körper ist, wodurch der Körper eine Beschleunigung erhält oder seine Form und Größe ändert.

Anzahl der Vektoren

numerisch gleich dem Produkt aus der Masse eines materiellen Punktes und seiner Geschwindigkeit und mit der Richtung der Geschwindigkeit heißt Impuls (Menge der Bewegung) dieser materielle Punkt.

Wenn wir (6.6) in (6.5) einsetzen, erhalten wir

Dieser Ausdruck - eine allgemeinere Formulierung des zweiten Newtonschen Gesetzes: Die Impulsänderungsrate eines materiellen Punktes ist gleich der auf ihn wirkenden Kraft. Der Ausdruck heißt Bewegungsgleichung eines materiellen Punktes.

Newtons drittes Gesetz

Die Interaktion zwischen materiellen Punkten (Körpern) wird bestimmt Newtons drittes Gesetz: Jede Einwirkung materieller Punkte (Körper) aufeinander liegt in der Natur der Interaktion; die Kräfte, mit denen materielle Punkte aufeinander einwirken, sind immer gleich groß, entgegengesetzt gerichtet und wirken entlang der geraden Linie, die diese Punkte verbindet:

F 12 = – F 21, (7.1)

wobei F 12 die Kraft ist, die vom zweiten auf den ersten Materialpunkt wirkt;

F 21 - Kraft, die vom ersten auf den zweiten Materialpunkt wirkt. Diese Kräfte wirken auf anders Materielle Punkte (Körper) handeln immer in Paaren und sind Kräfte von der gleichen Art.

Das dritte Newtonsche Gesetz ermöglicht den Übergang von der Dynamik separate materieller Hinweis auf Dynamik Systeme materielle Punkte. Dies folgt aus der Tatsache, dass für ein System materieller Punkte die Wechselwirkung auf die Kräfte der paarweisen Wechselwirkung zwischen materiellen Punkten reduziert wird.

Eine elastische Kraft ist eine Kraft, die bei der Verformung eines Körpers entsteht und dieser Verformung entgegenwirkt.

Bei elastischen Verformungen handelt es sich um Potential. Die elastische Kraft ist elektromagnetischer Natur und eine makroskopische Manifestation der intermolekularen Wechselwirkung. Im einfachsten Fall der Zug-/Druckkraft eines Körpers ist die elastische Kraft der Verschiebung der Körperteilchen entgegengerichtet, senkrecht zur Oberfläche.

Der Kraftvektor ist der Verformungsrichtung des Körpers (Verschiebung seiner Moleküle) entgegengesetzt.

Hookes Gesetz

Im einfachsten Fall eindimensionaler kleiner elastischer Verformungen hat die Formel für die elastische Kraft die Form: wobei k die Steifigkeit des Körpers und x die Größe der Verformung ist.

SCHWERKRAFT, eine Kraft P, die auf jeden Körper in der Nähe der Erdoberfläche wirkt und definiert ist als die geometrische Summe der Gravitationskraft der Erde F und der Zentrifugalkraft der Trägheit Q unter Berücksichtigung der Auswirkung der täglichen Erdrotation. Die Richtung der Schwerkraft verläuft an einem bestimmten Punkt der Erdoberfläche vertikal.

Existenz Reibungskräfte, was ein Verrutschen der sich berührenden Körper relativ zueinander verhindert. Reibungskräfte hängen von den Relativgeschwindigkeiten der Körper ab.

Es gibt äußere (trockene) und innere (flüssige oder viskose) Reibung. Äußere Reibung nennt man Reibung, die in der Kontaktebene zweier sich berührender Körper bei ihrer Relativbewegung auftritt. Sind die in Kontakt stehenden Körper relativ zueinander bewegungslos, spricht man von Haftreibung, kommt es jedoch zu einer Relativbewegung dieser Körper, dann spricht man je nach Art ihrer Relativbewegung von Gleitreibung, rollt oder Spinnen.

Innere Reibung nennt man Reibung zwischen Teilen desselben Körpers, beispielsweise zwischen verschiedenen Flüssigkeits- oder Gasschichten, deren Geschwindigkeit von Schicht zu Schicht unterschiedlich ist. Im Gegensatz zur äußeren Reibung gibt es hier keine Haftreibung. Wenn Körper relativ zueinander gleiten und durch eine Schicht aus viskoser Flüssigkeit (Schmierstoff) getrennt sind, entsteht Reibung in der Schmierstoffschicht. In diesem Fall reden sie darüber hydrodynamische Reibung(die Schmiermittelschicht ist ziemlich dick) und Grenzreibung (die Dicke der Schmiermittelschicht beträgt »0,1 Mikrometer oder weniger).

experimentell wurde folgendes festgestellt Gesetz: Gleitreibungskraft F tr ist proportional zur Kraft N Normaldruck, mit dem ein Körper auf einen anderen einwirkt:

F tr = f N ,

Wo F- Gleitreibungskoeffizient, abhängig von den Eigenschaften der Kontaktflächen.

f = tga 0.

Somit ist der Reibungskoeffizient gleich dem Tangens des Winkels a 0, bei dem der Körper entlang der schiefen Ebene zu gleiten beginnt.

Bei glatten Oberflächen beginnt die intermolekulare Anziehung eine gewisse Rolle zu spielen. Für sie wird es angewendet Gleitreibungsgesetz

F tr = F ist ( N + Sp 0) ,

Wo R 0 - zusätzlicher Druck durch intermolekulare Anziehungskräfte, die mit zunehmendem Abstand zwischen den Teilchen schnell abnehmen; S- Kontaktfläche zwischen Körpern; F ist – wahrer Gleitreibungskoeffizient.

Die Rollreibungskraft wird nach dem von Coulomb aufgestellten Gesetz bestimmt:

F tr = F Zu N/r , (8.1)

Wo R- Radius des Rollkörpers; F k – Rollreibungskoeffizient mit der Abmessung dim F k =L. Aus (8.1) folgt, dass die Rollreibungskraft umgekehrt proportional zum Radius des Rollkörpers ist.

Flüssigkeit (viskos) ist die Reibung zwischen einem Feststoff und einem flüssigen oder gasförmigen Medium oder seinen Schichten.

Wo ist der Impuls des Systems? Somit ist die zeitliche Ableitung des Impulses eines mechanischen Systems gleich der geometrischen Summe der auf das System wirkenden äußeren Kräfte.

Der letzte Ausdruck ist Gesetz der Impulserhaltung: Der Impuls eines geschlossenen Systems bleibt erhalten, das heißt, er ändert sich im Laufe der Zeit nicht.

Massezentrum(oder Trägheitszentrum) eines Systems materieller Punkte wird als imaginärer Punkt bezeichnet MIT, deren Lage die Massenverteilung dieses Systems charakterisiert. Sein Radiusvektor ist gleich

Wo m i Und r i- Masse- bzw. Radiusvektor ich der materielle Punkt; N- Anzahl der Materialpunkte im System; – Masse des Systems. Schwerpunktgeschwindigkeit

Bedenkt, dass Pi = m i v ich, a Es gibt einen Impuls R Systeme, die Sie schreiben können

Das heißt, der Impuls des Systems ist gleich dem Produkt aus der Masse des Systems und der Geschwindigkeit seines Massenschwerpunkts.

Wenn wir Ausdruck (9.2) in Gleichung (9.1) einsetzen, erhalten wir

Das heißt, der Massenschwerpunkt des Systems bewegt sich als materieller Punkt, in dem die Masse des gesamten Systems konzentriert ist und auf den eine Kraft einwirkt, die der geometrischen Summe aller auf das System ausgeübten äußeren Kräfte entspricht. Ausdruck (9.3) ist Bewegungsgesetz des Massenschwerpunktes.

Gemäß (9.2) folgt aus dem Impulserhaltungssatz, dass Der Schwerpunkt eines geschlossenen Systems bewegt sich entweder geradlinig und gleichmäßig oder bleibt stationär.

5) Kraftmoment F relativ zu einem festen Punkt UM ist eine physikalische Größe, die durch das Vektorprodukt des Radiusvektors bestimmt wird R aus dem Punkt gezogen UM genau A Anwendung von Gewalt, Gewalt F(Abb. 25):

Hier M - Pseudovektor, seine Richtung stimmt mit der Richtung der Translationsbewegung des rechten Propellers überein, wenn er sich von r nach F dreht. Modul des Kraftmoments

wobei a der Winkel zwischen r und F ist; R sina = l- der kürzeste Abstand zwischen der Wirkungslinie der Kraft und dem Punkt UM -Schulter der Stärke.

Kraftmoment um eine feste Achse z angerufen Skalar Größe Mz, gleich der Projektion des Vektors M des Kraftmoments, das relativ zu einem beliebigen Punkt bestimmt wird, auf diese Achse UM gegebene Z-Achse (Abb. 26). Drehmomentwert M z hängt nicht von der Wahl der Punktposition ab UM auf der z-Achse.

Wenn die z-Achse mit der Richtung des Vektors M übereinstimmt, wird das Kraftmoment als Vektor dargestellt, der mit der Achse zusammenfällt:

Die kinetische Energie eines rotierenden Körpers ermitteln wir als Summe der kinetischen Energien seiner Elementarvolumina:

Mit Ausdruck (17.1) erhalten wir

Wo J z - Trägheitsmoment des Körpers relativ zur z-Achse. Somit ist die kinetische Energie eines rotierenden Körpers

Aus einem Vergleich der Formel (17.2) mit dem Ausdruck (12.1) für die kinetische Energie eines sich translatorisch bewegenden Körpers (T=mv 2 /2), Daraus folgt, dass das Trägheitsmoment ist Maß für die Trägheit des Körpers während der Rotationsbewegung. Formel (17.2) gilt für einen Körper, der sich um eine feste Achse dreht.

Bei der ebenen Bewegung eines Körpers, beispielsweise eines Zylinders, der eine schiefe Ebene hinunterrollt, ohne zu gleiten, ist die Bewegungsenergie die Summe der Energie der Translationsbewegung und der Rotationsenergie:

Wo M- Masse des Rollkörpers; vc- Geschwindigkeit des Körperschwerpunkts; Jc- Trägheitsmoment eines Körpers relativ zu einer Achse, die durch seinen Massenschwerpunkt verläuft; w- Winkelgeschwindigkeit des Körpers.

6) Um den Prozess des Energieaustauschs zwischen interagierenden Körpern quantitativ zu charakterisieren, wird das Konzept in die Mechanik eingeführt Kraftarbeit. Wenn sich der Körper bewegt geradeaus und auf ihn eine konstante Kraft F einwirkt, die mit der Bewegungsrichtung einen bestimmten Winkel  bildet, dann ist die Arbeit dieser Kraft gleich dem Produkt der Projektion der Kraft F s zur Bewegungsrichtung ( F s= F cos), multipliziert mit der Verschiebung des Kraftangriffspunktes:

Im allgemeinen Fall kann sich die Kraft sowohl in ihrer Größe als auch in ihrer Richtung ändern, sodass Formel (11.1) nicht verwendet werden kann. Betrachtet man jedoch die Elementarverschiebung dr, so kann die Kraft F als konstant und die Bewegung des Angriffspunktes als geradlinig betrachtet werden. Elementare Arbeit Kraft F auf Verschiebung dr heißt Skalar Größe

wobei  der Winkel zwischen den Vektoren F und dr ist; ds = |dr| - elementarer Pfad; F s - Projektion des Vektors F auf den Vektor dr (Abb. 13).

Kraftarbeit auf dem Flugbahnabschnitt vom Punkt aus 1 auf den Punkt 2 gleich der algebraischen Summe der Elementararbeit an einzelnen infinitesimalen Abschnitten des Weges. Diese Summe wird auf das Integral reduziert

Zur Charakterisierung des Arbeitstempos wird das Konzept eingeführt Leistung:

Während der Zeit d T Kraft F arbeitet Fdr und die von dieser Kraft zu einem bestimmten Zeitpunkt entwickelte Kraft

d.h. es ist gleich dem Skalarprodukt des Kraftvektors und des Geschwindigkeitsvektors, mit dem sich der Angriffspunkt dieser Kraft bewegt; N- Größe Skalar.

Leistungseinheit - Watt(W): 1 W ist die Leistung, bei der 1 J Arbeit in 1 s verrichtet wird (1 W = 1 J/s).

Kinetische Energie eines mechanischen Systems ist die Energie der mechanischen Bewegung dieses Systems.

Die Kraft F, die auf einen ruhenden Körper einwirkt und ihn in Bewegung versetzt, verrichtet Arbeit, und die Energie eines sich bewegenden Körpers erhöht sich um die Menge der aufgewendeten Arbeit. Also, Arbeit d A Kraft F auf dem Weg, den der Körper während der Geschwindigkeitserhöhung von 0 auf v zurückgelegt hat, erhöht die kinetische Energie d T Körper, d.h.

Unter Verwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes und Multiplikation mit der Verschiebung dr erhalten wir

Potenzielle Energie- mechanische Energie eines Systems von Körpern, bestimmt durch ihre relative Position und die Art der Wechselwirkungskräfte zwischen ihnen.

Die Wechselwirkung von Körpern soll durch Kraftfelder erfolgen (z. B. ein Feld elastischer Kräfte, ein Feld gravitativer Kräfte), die dadurch gekennzeichnet sind, dass die Arbeit der wirkenden Kräfte beim Bewegen eines Körpers von einer Position in eine andere verrichtet wird hängt nicht von der Flugbahn ab, entlang der diese Bewegung stattgefunden hat, sondern hängt nur von der Start- und Endposition ab. Solche Felder heißen Potenzial, und die in ihnen wirkenden Kräfte sind konservativ. Wenn die von einer Kraft verrichtete Arbeit von der Flugbahn des Körpers abhängt, der sich von einem Punkt zum anderen bewegt, nennt man eine solche Kraft dissipativ; Ein Beispiel hierfür ist die Reibungskraft.

Die konkrete Form der Funktion P hängt von der Art des Kraftfeldes ab. Zum Beispiel die potentielle Energie eines Massenkörpers T, auf eine Höhe gehoben Hüber der Erdoberfläche ist gleich

Wo ist die Höhe? H wird vom Nullniveau aus gezählt, für das P 0 =0 ist. Ausdruck (12.7) folgt direkt aus der Tatsache, dass die potentielle Energie gleich der Arbeit ist, die die Schwerkraft verrichtet, wenn ein Körper aus großer Höhe fällt H zur Erdoberfläche.

Da der Ursprung willkürlich gewählt wird, kann die potentielle Energie einen negativen Wert haben (kinetische Energie ist immer positiv!). Wenn wir die potentielle Energie eines auf der Erdoberfläche liegenden Körpers als Null annehmen, dann ist die potentielle Energie eines Körpers, der sich am Boden der Mine befindet (Tiefe). H"), P= -mgh".

Finden wir die potentielle Energie eines elastisch verformten Körpers (Feder). Die elastische Kraft ist proportional zur Verformung:

Wo Fx Pack p - Projektion der elastischen Kraft auf die Achse X;k- Elastizitätskoeffizient(für einen Frühling - Steifigkeit), und das Minuszeichen zeigt dies an Fx UP p ist in die der Verformung entgegengesetzte Richtung gerichtet X.

Nach dem dritten Newtonschen Gesetz ist die Verformungskraft gleich groß wie die elastische Kraft und entgegengesetzt zu ihr gerichtet, d. h.

Grundarbeit d A, mit Gewalt geschehen Fx bei unendlich kleiner Verformung d X, gleich

ein vollwertiger Job

erhöht die potentielle Energie der Feder. Somit ist die potentielle Energie eines elastisch verformten Körpers

Die potentielle Energie eines Systems ist eine Funktion des Zustands des Systems. Es hängt nur von der Konfiguration des Systems und seiner Position im Verhältnis zu externen Körpern ab.

Wenn das System den Zustand verlässt 1 in einen Staat 2

Das heißt, die Änderung der gesamten mechanischen Energie des Systems beim Übergang von einem Zustand in einen anderen ist gleich der von externen nichtkonservativen Kräften geleisteten Arbeit. Wenn es keine externen nichtkonservativen Kräfte gibt, folgt daraus aus (13.2).

D ( T+P) = 0,

das heißt, die gesamte mechanische Energie des Systems bleibt konstant. Ausdruck (13.3) ist Gesetz der Erhaltung der mechanischen Energie: In einem Körpersystem, zwischen dem nur konservative Kräfte wirken, bleibt die gesamte mechanische Energie erhalten, das heißt, sie ändert sich nicht mit der Zeit.

Lineare Bewegung, lineare Geschwindigkeit, lineare Beschleunigung.

Ziehen um(in der Kinematik) – eine Änderung der Position eines physischen Körpers im Raum relativ zum ausgewählten Bezugssystem. Der diese Änderung charakterisierende Vektor wird auch Verschiebung genannt. Es hat die Eigenschaft der Additivität. Die Länge des Segments ist das Verschiebungsmodul, gemessen in Metern (SI).

Sie können Bewegung als Änderung des Radiusvektors eines Punktes definieren: .

Der Verschiebungsmodul stimmt genau dann mit der zurückgelegten Strecke überein, wenn sich die Verschiebungsrichtung während der Bewegung nicht ändert. In diesem Fall ist die Flugbahn ein gerades Liniensegment. In jedem anderen Fall, beispielsweise bei einer krummlinigen Bewegung, folgt aus der Dreiecksungleichung, dass der Weg streng genommen länger ist.

Vektor D R = R -R 0 wird aufgerufen, die von der Anfangsposition des sich bewegenden Punkts zu seiner Position zu einem bestimmten Zeitpunkt (Inkrement des Radiusvektors des Punktes über den betrachteten Zeitraum) gezogen wird ziehen um.

Bei einer geradlinigen Bewegung fällt der Verschiebungsvektor mit dem entsprechenden Abschnitt der Trajektorie und dem Verschiebungsmodul |D zusammen R| gleich der zurückgelegten Strecke D S.
Lineargeschwindigkeit eines Körpers in der Mechanik

Geschwindigkeit

Um die Bewegung eines materiellen Punktes zu charakterisieren, wird eine Vektorgröße eingeführt – Geschwindigkeit, die definiert ist als Schnelligkeit Bewegung und seine Richtung zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Lassen Sie einen materiellen Punkt sich entlang einer krummlinigen Flugbahn bewegen, so dass im Moment der Zeit T es entspricht dem Radiusvektor r 0 (Abb. 3). Für kurze Zeit D T Der Punkt verläuft entlang des Pfades D S und erhält eine elementare (infinitesimale) Verschiebung Dr.

Durchschnittsgeschwindigkeitsvektor ist das Verhältnis des Inkrements Dr des Radiusvektors eines Punktes zum Zeitintervall D T:

Die Richtung des Durcstimmt mit der Richtung von Dr überein. Mit einer unbegrenzten Verringerung von D T Die Durchschnittsgeschwindigkeit tendiert zu einem Grenzwert namens Momentangeschwindigkeit v:

Die Momentangeschwindigkeit v ist daher eine Vektorgröße, die der ersten Ableitung des Radiusvektors des sich bewegenden Punktes nach der Zeit entspricht. Da die Sekante im Grenzfall mit der Tangente zusammenfällt, ist der Geschwindigkeitsvektor v tangential zur Trajektorie in Bewegungsrichtung gerichtet (Abb. 3). Wenn D abnimmt T Weg D S nähert sich zunehmend |Dr|, also dem Absolutwert der Momentangeschwindigkeit

Somit ist der Absolutwert der Momentangeschwindigkeit gleich der ersten Ableitung des Weges nach der Zeit:

Bei ungleichmäßige Bewegung - Das Modul der Momentangeschwindigkeit ändert sich im Laufe der Zeit. In diesem Fall verwenden wir die skalare Größe b vñ - Durchschnittsgeschwindigkeit ungleichmäßige Bewegung:

Aus Abb. 3 Daraus folgt, dass á vñ> |ávñ|, da D S> |Dr|, und zwar nur bei geradliniger Bewegung

Wenn Ausdruck d s = v D T(siehe Formel (2.2)) integrieren über die Zeit im Bereich von T Vor T+D T, dann ermitteln wir die Länge des Weges, den der Zeitpunkt D zurückgelegt hat T:

Im Fall von gleichmäßige Bewegung der Zahlenwert der Momentangeschwindigkeit ist konstant; dann nimmt der Ausdruck (2.3) die Form an

Die Länge des Weges, den ein Punkt im Zeitraum von zurückgelegt hat T 1 zu T 2, gegeben durch das Integral

Beschleunigung und ihre Komponenten

Bei ungleichmäßiger Bewegung ist es wichtig zu wissen, wie schnell sich die Geschwindigkeit im Laufe der Zeit ändert. Eine physikalische Größe, die die Geschwindigkeitsänderungsrate in Größe und Richtung charakterisiert, ist Beschleunigung.

Lassen Sie uns überlegen flache Bewegung, diese. eine Bewegung, bei der alle Teile der Flugbahn eines Punktes in derselben Ebene liegen. Der Vektor v gebe die Geschwindigkeit des Punktes an A zu einem bestimmten Zeitpunkt T. Während der Zeit D T Der Bewegungspunkt wurde auf Position verschoben IN und erlangte eine Geschwindigkeit, die sich sowohl in der Größe als auch in der Richtung von v unterscheidet und gleich v 1 = v + Dv ist. Bewegen wir den Vektor v 1 auf den Punkt A und finde Dv (Abb. 4).

Mittlere Beschleunigung ungleichmäßige Bewegung im Bereich von T Vor T+D T ist eine Vektorgröße, die dem Verhältnis der Geschwindigkeitsänderung Dv zum Zeitintervall D entspricht T

Sofortige Beschleunigung und (Beschleunigung) eines materiellen Punktes im Moment der Zeit T Es wird eine Grenze für die durchschnittliche Beschleunigung geben:

Somit ist die Beschleunigung a eine Vektorgröße, die der ersten Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit entspricht.

Zerlegen wir den Vektor Dv in zwei Komponenten. Um dies vom Punkt aus zu tun A(Abb. 4) In Richtung der Geschwindigkeit v tragen wir den Vektor ein, dessen Absolutwert v 1 entspricht. Offensichtlich der Vektor , gleich , bestimmt die Geschwindigkeitsänderung über die Zeit D t Modulo: . Die zweite Komponente des Vektors Dv charakterisiert die Geschwindigkeitsänderung über die Zeit D t in Richtung.

Tangential- und Normalbeschleunigung.

Tangentialbeschleunigung- Beschleunigungskomponente, die tangential zur Bewegungsbahn gerichtet ist. Fällt bei beschleunigter Bewegung mit der Richtung des Geschwindigkeitsvektors zusammen und bei langsamer Bewegung in entgegengesetzter Richtung. Charakterisiert das Geschwindigkeitsänderungsmodul. Normalerweise wird es mit oder (usw.) bezeichnet, je nachdem, welcher Buchstabe in diesem Text allgemein für die Beschleunigung gewählt wird.

Manchmal versteht man unter Tangentialbeschleunigung die Projektion des Tangentialbeschleunigungsvektors – wie oben definiert – auf den Einheitsvektor der Tangente an die Flugbahn, die mit der Projektion des (Gesamt-)Beschleunigungsvektors auf den Einheitstangentenvektor zusammenfällt, also der entsprechende Ausdehnungskoeffizient in der beigefügten Basis. In diesem Fall wird keine Vektorschreibweise verwendet, sondern eine „skalare“ – wie für die Projektion oder Koordinaten eines Vektors üblich –.

Der Betrag der Tangentialbeschleunigung – im Sinne der Projektion des Beschleunigungsvektors auf einen Einheitstangensvektor der Trajektorie – lässt sich wie folgt ausdrücken:

Wo ist die Geschwindigkeit über Grund entlang der Flugbahn, die mit dem Absolutwert der Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt übereinstimmt?

Wenn wir die Notation für den Einheitstangensvektor verwenden, können wir die Tangentialbeschleunigung in Vektorform schreiben:

Abschluss

Der Ausdruck für die Tangentialbeschleunigung kann durch Differenzieren des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit ermittelt werden, dargestellt durch den Einheitstangensvektor:

wobei der erste Term die Tangentialbeschleunigung und der zweite die Normalbeschleunigung ist.

Hier verwenden wir die Notation für den Einheitsnormalenvektor zur Flugbahn und - für die aktuelle Länge der Flugbahn (); Auch der letzte Übergang nutzt das Offensichtliche

und, aus geometrischen Überlegungen,

Zentripetalbeschleunigung (normal)- Teil der Gesamtbeschleunigung eines Punktes aufgrund der Krümmung der Flugbahn und der Bewegungsgeschwindigkeit des materiellen Punktes entlang dieser. Diese Beschleunigung ist auf den Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn gerichtet, weshalb der Begriff entsteht. Formal und im Wesentlichen stimmt der Begriff der Zentripetalbeschleunigung im Allgemeinen mit dem Begriff der Normalbeschleunigung überein und unterscheidet sich eher nur stilistisch (manchmal auch historisch).

Besonders oft spricht man von Zentripetalbeschleunigung, wenn es sich um eine gleichförmige Bewegung im Kreis handelt oder wenn die Bewegung diesem speziellen Fall mehr oder weniger nahe kommt.

Elementare Formel

wobei ist die normale (Zentripetal-)Beschleunigung, ist die (augenblickliche) lineare Geschwindigkeit der Bewegung entlang der Flugbahn, ist die (augenblickliche) Winkelgeschwindigkeit dieser Bewegung relativ zum Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn, ist der Krümmungsradius der Flugbahn an einem bestimmten Punkt. (Der Zusammenhang zwischen der ersten und der zweiten Formel ist offensichtlich).

Die obigen Ausdrücke beinhalten absolute Werte. Sie können leicht in Vektorform geschrieben werden, indem man sie mit einem Einheitsvektor vom Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn zu einem bestimmten Punkt multipliziert:

Diese Formeln sind gleichermaßen auf den Fall einer Bewegung mit konstanter (im Absolutwert) Geschwindigkeit und auf einen beliebigen Fall anwendbar. Im zweiten Fall muss man jedoch bedenken, dass die Zentripetalbeschleunigung nicht der vollständige Beschleunigungsvektor ist, sondern nur ihre Komponente senkrecht zur Flugbahn (oder, was dasselbe ist, senkrecht zum Vektor der momentanen Geschwindigkeit); Der volle Beschleunigungsvektor enthält dann auch eine Tangentialkomponente (Tangentialbeschleunigung), deren Richtung mit der Tangente an die Flugbahn (oder, was dasselbe ist, mit der Momentangeschwindigkeit) zusammenfällt.

Abschluss

Die Tatsache, dass die Zerlegung des Beschleunigungsvektors in Komponenten – eine entlang der Tangente zur Vektortrajektorie (Tangentialbeschleunigung) und die andere orthogonal dazu (Normalbeschleunigung) – praktisch und nützlich sein kann, ist an sich ziemlich offensichtlich. Erschwerend kommt hinzu, dass bei einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit die Tangentialkomponente gleich Null ist, d. h. in diesem wichtigen Sonderfall bleibt nur die Normalkomponente übrig. Darüber hinaus hat jede dieser Komponenten, wie unten zu sehen ist, klar definierte Eigenschaften und Struktur, und die Normalbeschleunigung enthält in der Struktur ihrer Formel einen recht wichtigen und nicht trivialen geometrischen Inhalt. Ganz zu schweigen von dem wichtigen Sonderfall der Bewegung im Kreis (der zudem praktisch ohne Änderungen auf den allgemeinen Fall verallgemeinert werden kann).